Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich aus
Fakt.
Wenn (2) erfüllt ist, so besitzt natürlich der durch eine abzählbare dichte Punktmenge
erzeugte Untervektorraum
eine abzählbare
Basis
und ist dicht. Es sei (3) erfüllt mit
-
und dicht. Wir nehmen
an und behaupten, dass der -Vektorraum
,
der nach
Fakt
abzählbar ist, eine dichte Teilmenge von ist. Es sei dazu
eine offene Umgebung eines Punktes
. Es gibt dann ein Element
-
mit
endlich mit Elementen und
.
Es sei eine obere Schranke für
, .
Wenn man in die reellen Koeffizienten durch rationale Koeffizienten mit
-
ersetzt, so erhält man das Element
innerhalb von . Es ist ja