Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome

die normiert sind und deren Bild von nach Fakt in liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den Punkten  mit abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom , dessen Betrag auf überall echt kleiner als ist. Wir betrachten das Differenzpolynom . Dieses Polynom hat an den Stellen, wo den maximalen Wert annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo den minimalen Wert annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von sich abwechseln, besitzt zumindest Vorzeichenwechsel und somit nach dem Zwischenwertsatz zumindest Nullstellen. Da aber die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad ist, besitzt höchstens den Grad und kann nach Fakt höchstens Nullstellen besitzen.