Numerisches Monoid/Singularitätsgrad/Ringkette/Aufgabe/Lösung

Der Singularitätsgrad ${}\delta$ ist die Anzahl der Lücken von ${}M$ in ${}\mathbb {N}$, der nach Fakt mit ${}\dim _{K}(R^{\operatorname {norm} }/R)=\dim _{K}(K[T]/K[M])$ übereinstimmt.

1. Bei einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

   muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, sodass ${}n\leq \delta$ ist. Wenn man ${}M_{i+1}$ sukzessive dadurch definiert, dass man zu ${}M_{i}$ das größte Element hinzunimmt, das nicht zu ${}M_{i}$ gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als ${}M_{i}$ besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge ${}\delta$ wie gewünscht.

2. Zur Kette der Länge ${}\delta$ gehört die Kette von ${}K$-Algebren

   ${}K[M]=K[M_{0}]\subset K[M_{1}]\subset K[M_{2}]\subset \ldots \subset K[M_{\delta }]=K[\mathbb {N} ]\,,$

   wobei die Inklusionen echt sind, da zu ${}T^{m}\in M_{i+1}\setminus M_{i}$ auch ${}T^{m}\in K[M_{i+1}]\setminus K[M_{i}]$ gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.

3. Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von ${}K$-Untervektorräumen. Wegen

   ${}\dim _{K}{\left(K[\mathbb {N} ]/K[M]\right)}=\delta \,$

   kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum ${}K[\mathbb {N} ]/K[M]$ entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension ${}\delta$ nur Ketten der maximalen Länge ${}\delta$ geben kann.

Zur gelösten Aufgabe