Obere Halbebene/Exponentialfunktion/Beziehung/Textabschnitt
Wir betrachten die komplexe Exponentialfunktion auf der oberen Halbebene in der Form
Das Bild dieser Abbildung ist die punktierte offene Einheitskreisscheibe . Mit
gilt ja
und wegen ist . Es gilt die Periodizitätsbedingung
für . Wenn man den Wertebereich auf einschränkt, so erhält man eine holomorphe Überlagerung. Die Geraden parallel zur -Achse werden zu Kreisen aufgewickelt, wobei die Geraden nah an der Achse auf einen Kreis nah an der Einheitssphäre abgebildet werden und die fernen Geraden auf kleine Kreise um den Nullpunkt. Die Halbgeraden parallel zur -Achse werden auf eine offene Radiusstrecke abgebildet.
Wenn eine Funktion ist, die die Periodizitätsbedingung zu erfüllt, so gibt es eine Faktorisierung von über die Exponentialabbildung
mit einer eindeutig bestimmten Funktion
Dabei ist genau dann holomorph oder meromorph, wenn holomorph oder meromorph auf der punktierten Kreisscheibe ist. Man bezeichnet in dieser Situation die Variable der komplexen Zahlen rechts oben oft mit und hat dann die Beziehung , . Diesen Übergang kann man insbesondere für eine schwache Modulfunktion machen, für die es somit eine meromorphe Funktion
gibt, die wegen der Modularitätsbedingung noch weitere Bedingungen erfüllen muss. Dabei ist es für eine natürliche Frage, ob man sie in den Nullpunkt hinein sinnvoll meromorph oder holomorph fortsetzen kann.
Es sei eine meromorphe Funktion, die die Periodizität für alle erfüllt und sei
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass meromorph im Unendlichen ist, wenn sich meromorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.
Es sei eine meromorphe Funktion, die die Periodizität für alle erfüllt und sei
die zugehörige Funktion auf der punktierten Einheitskreisscheibe. Man sagt, dass holomorph im Unendlichen ist, wenn sich holomorph in den Nullpunkt fortsetzen lässt.
In diesem Fall setzt man . Im Fall der meromorphen Fortsetzbarkeit von im Nullpunkt liegt dort eine Laurent-Entwicklung der Form
vor, wobei im holomorphen Fall ist. Es ist dann und die nennt man auch Fourierkoeffizienten von .