Zu
und
ist
Dies bedeutet, dass zwischen den Imaginärteilen von
und von
die Beziehung
-
besteht. Für
folgt daraus ferner, dass die Menge
, ,
ein Maximum besitzt. Es sei entsprechend gewählt. Wir wählen ferner
derart, dass der Realteil von
-
zwischen
und
liegt, was nach
Bemerkung
möglich ist. Der Betrag von ist , andernfalls würde sich durch
ein Widerspruch zur Wahl von ergeben. Somit gelangt man in den Abschluss von .
Sei
.
Wenn der Realteil von gleich ist, so kann man durch Anwendung von erreichen, dass
ist. Die Elemente auf dem rechten Kreisteilbogen kann man durch eine Anwendung von auf den linken Kreisteilbogen schicken. Daher wird jedes Element von durch ein Element aus repräsentiert.
Es ist noch zeigen, dass dieses Element eindeutig ist. Nach
Fakt
genügt es zu zeigen, dass für
und
das Element
liegt. Es sei also
und
-
Wir nehmen an, dass
gehört und müssen zeigen, dass die Identität oder das Negative der Identität ist. Da die Rollen von
und
vertauscht werden können, können wir annehmen, dass
-
gilt. Wie oben gezeigt gilt für den Imaginärteil
-
also ist
-
Aus
folgt
.
Es sei zunächst
.
Dann ist
,
wobei wir direkt annehmen können, und es liegt eine Scherung vor, die wegen des Realteiles trivial sein muss. Es sei also
,
wobei wir durch Multiplikation mit annehmen können, dass
ist. Aus
und
folgt
.
Die Determinante ergibt
.
Dann ist
.
Der Imaginärteil dieser Zahl ist
,
also muss ein Punkt der Sphäre und
sein. Von und liegt aber genau ein Element auf dem fixierten Kreissegment.