Offene Teilmenge des R^n/Als differenzierbare Mannigfaltigkeit/Beispiel

Jede offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist eine ${}C^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, wenn man die Identität ${}\operatorname {Id} \colon V\rightarrow V$ als Karte nimmt. Die einzige Übergangsabbildung ist dann ebenfalls diese Identität, die ein ${}C^{\infty }$-Diffeomorphismus ist. Dies ist dann eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas, der aus einer einzigen Karte besteht. Man kann aber genauso gut den Atlas nehmen, der aus sämtlichen offenen Teilmengen ${}U\subseteq V$ und den zugehörigen identischen Karten ${}\varphi _{U}$ besteht. Die Übergangsabbildungen sind dann die Identitäten auf ${}U_{1}\cap U_{2}$.