Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen heißt orientiert, wenn der ${}\mathbb {R} ^{n}$ orientiert ist.

Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen ${}\mathbb {R} ^{n}$, in denen die offenen Bilder ${}V_{i}$ der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets ${}\mathbb {R} ^{n}$ schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien ${}(U_{1},V_{1},\alpha _{1})$ und ${}(U_{2},V_{2},\alpha _{2})$ orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

$\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

$\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

orientierungstreu ist.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.