Permutationsmatrix/Invariante Standardunterräume/Aufgabe

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$. Zu ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei

${}V_{J}=\langle e_{j},\,j\in J\rangle \subseteq K^{n}\,.$

a) Zeige, dass ${}V_{J}$ genau dann ${}M_{\pi }$-invariant ist, wenn ${}\pi (J)\subseteq J$ ist.

b) Zeige, dass es ${}M_{\pi }$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form ${}V_{J}$ sind.

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