Picard-Lindelöf/Iteration/Verfahren/Konvergenz/Bemerkung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. In der Picard-Lindelöf-Iteration definiert man iterativ eine Folge von Funktionen

$\varphi _{n}\colon I\longrightarrow V$

durch ${}\varphi _{0}=w$ (dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert ${}w$) und durch

${}\varphi _{n+1}(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}F(s,\varphi _{n}(s))\,ds\,.$

Dann gibt es ein Teilintervall ${}{]a,b[}\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in {]a,b[}$ derart, dass für ${}t\in {]a,b[}$ die Folge ${}\varphi _{n}(t)$ gegen einen Punkt ${}\varphi (t)$ konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion ${}\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Bei einer linearen Differentialgleichung mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz ${}I$.