Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Textabschnitt

Satz

Es sei

${}P=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\in {\mathbb {C} }[X]\,$

ein normiertes Polynom und ${}a\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von ${}P$ der Vielfachheit ${}m$.

Dann gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom ${}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$ mit ${}\vert {c_{j}-b_{j}}\vert \leq \delta$ für alle ${}j$ in der offenen Ballumgebung ${}U{\left(a,\epsilon \right)}$ insgesamt ${}m$ Nullstellen (mit Vielfachheiten gerechnet) besitzt.

Beweis

Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt/Beweis

$\Box$

Wenn man ${}\epsilon$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes zwischen verschiedenen Nullstellen ${}a_{i}$ von ${}P$ wählt, so gibt es auch ein ${}\delta$ derart, dass jedes normierte Polynom, dass die angegebene Koeffizientenbedingung erfüllt, in ${}U{\left(a_{i},\epsilon \right)}$ genau ${}k_{i}$ Nullstellen besitzt, wobei ${}k_{i}$ die Vielfachheit der Nullstelle ${}a_{i}$ in ${}P$ sei.