Polynom/Interpolation/Normierte Version/Aufgabe/Lösung

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq n-1$ mit ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$. Wir betrachten das Polynom

${}R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.$

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$, das an den Stellen ${}a_{i}$ den Wert ${}0$ annimmt. Deshalb ist

${}Q:=P+R\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}n$ mit

${}Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,$

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien ${}Q$ und ${}Q'$ normierte Polynome vom Grad ${}n$ mit ${}Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})$. Dann besitzt ${}Q-Q'$ einen Grad ${}\leq n-1$, das an den ${}n$ Stellen den Wert ${}0$ besitzt. Deshalb ist es nach Fakt das Nullpolynom und somit ist

${}Q=Q'$.

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