Polynom/Q/Grad 3/Auflösbarkeit über Galoistheorie/Aufgabe/Lösung

Das Polynom ${}P$ heißt auflösbar, wenn der Zerfällungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ von ${}P$ auflösbar ist. Dieser Zerfällungskörper ist eine Galoiserweiterung von ${}\mathbb {Q}$, und jeder Automorphismus von ${}L$ permutiert die Nullstellen von ${}P$ in ${}L$ und ist dadurch festgelegt (siehe Fakt). Daher ist die Galoisgruppe der Körpererweiterung eine Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{3}$. Nach Fakt ist eine galoissche Körpererweiterung genau dann auflösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist. Die Permutationsgruppe ${}S_{3}$ ist auflösbar, wie die zyklische alternierende Untergruppe ${}\mathbb {Z} /(3)\cong A_{3}\subset S_{3}$ mit der Restklassengruppe ${}\mathbb {Z} /(2)$ zeigt. Nach Fakt

ist dann auch jede Untergruppe von ${}S_{3}$ auflösbar. Also ist die Galoisgruppe und damit die Körpererweiterung und das Polynom auflösbar.

Zur gelösten Aufgabe