Polynome/n/Nullstellenmengen/Kurzeinführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ und einem ${}n$-Tupel ${}(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ nennt man einen Ausdruck der Form ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ ein Monom in den ${}X_{i}$.

Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich ${}\nu _{1}+\nu _{2}+\cdots +\nu _{n}$.

Definition

Unter einem Polynom ${}F$ in den Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper ${}K$ versteht man eine endliche Linearkombination von Monomen

${}F=\sum _{\nu }c_{\nu }X^{\nu }\,$

mit ${}c_{\nu }\in K$.

Der Grad eines Polynoms ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome (also derjenigen Monome, die mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen). Ein Polynom ${}F=F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in ${}n$ Variablen über ${}K$ definiert durch Einsetzen eine Funktion

$K^{n}\longrightarrow K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto F(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable ${}X_{i}$ in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die ${}i$-te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in ${}K$ addiert bzw. multipliziert werden.

Definition

Zu einem Körper ${}K$ und einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

aus allen Polynomen ${}F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in K^{n}\mid F(P)=0\right\}}$

das Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge) zu ${}F$.

Das Nullstellengebilde zu ${}F$ ist also einfach die Faser zu der durch ${}F$ gegebenen Funktion

$F\colon K^{n}\longrightarrow K.$

Bei ${}n=1$ ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von ${}F$, (bei ${}F=0$ handelt es sich um ganz ${}K$), bei ${}n\geq 2$ entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt algebraische Geometrie. Bei ${}n=2$ spricht man von algebraischen Kurven.

Bei beliebigem ${}n$ hat ein Polynom vom Grad ${}\leq 1$ die Gestalt

${}F=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}+b\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung

${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=-b\,,$

also ein affin-linearer Raum.