Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass jedes irreduzible Element prim ist und dass jedes Polynom eine Zerlegung in irreduzible Polynome besitzt. Es sei also ${}f\in R[X]$ irreduzibel und

${}fq=hg\,.$

Bei ${}f\in R$ ist ${}f$ prim nach Fakt, sodass wir ${}\operatorname {grad} \,(f)\geq 1$ annehmen können. Die Teilbarkeitsbeziehung gilt erst recht in ${}Q(R)[X]$. Nach Fakt ist das Polynom ${}f$ auch irreduzibel in ${}Q(R)[X]$ und damit darin prim nach Fakt. Daher teilt dieses Element in ${}Q(R)[X]$ einen der Faktoren, sagen wir ${}h$. Es ist also ${}fu=h$ mit ${}u\in Q(R)[X]$. Wir können mit einem Hauptnenner ${}a$ von ${}u$ multiplizieren und erhalten die Beziehung

$fv=ha=hp_{1}{\cdots }p_{n}$

mit ${}v\in R[X]$, wobei ${}a$ durch seine Primfaktorzerlegung ersetzt wurde. Da ${}f$ irreduzibel ist, sind die Koeffizienten von ${}f$ teilerfremd. Insbesondere ist ${}p_{1}$ kein Teiler von allen Koeffizienten von ${}f$. Da ${}p_{1}$ nach Fakt auch in ${}R[X]$ prim ist, folgt, dass ${}v$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Man kann also durch ${}p_{1}$ kürzen. So kann man sukzessive die Primfaktorzerlegung von ${}a$ abarbeiten und erhält schließlich, dass ${}h$ ein Vielfaches von ${}f$ ist.

Dass jedes Polynom ${}f\in R$ ein Produkt von irreduziblen Polynomen ist, beweisen wir durch Induktion über den Grad von ${}f$. Bei Grad null liefert die Primfaktorzerlegung in ${}P$ sofort die gewünschte Zerlegung in ${}R[X]$. Es sei also der Grad von ${}f$ positiv. Wenn es eine Produktzerlegung in Polynome von kleinerem Grad gibt, so sind wir fertig aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Andernfalls sei ${}a$ der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von ${}f$. Dann ist ${}f=a{\tilde {f}}$ mit ${}{\tilde {f}}\in R[X]$ und die Koeffizienten von ${}{\tilde {f}}$ sind teilerfremd. Dann ist aber ${}{\tilde {f}}$ irreduzibel, da es weder eine Zerlegung in Polynome mit kleinerem Grad noch eine nicht-triviale Zerlegung mit Konstanten geben kann.

Zur bewiesenen Aussage