Polynomring/Körper/Krulldimension/Fakt/Beweis2

Beweis

Die Primidealkette

zeigt, dass die Dimension des Polynomringes zumindest ist. Wir zeigen die andere Abschätzung durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang klar ist, da nach Fakt ein Hauptidealbereich ist und Hauptidealbereiche, die keine Körper sind, die Dimension besitzen. Es sei

eine Primidealkette in . Wir betrachten

Die Restklassen der sind algebraisch abhängig über . Andererseits gibt es nach Fakt algebraisch unabhängige Elemente

derart, dass

endlich ist. Dabei muss gelten. Nach der Induktionsvoraussetzung besitzt die (zum Polynomring in Variablen isomorphe -Algebra) die Dimension . Nach Fakt ist die Dimension von ebenfalls gleich . Somit ist und also .