Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten ${}P$-Moduln

$0\longrightarrow P(-d){\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P\longrightarrow R\longrightarrow 0$

und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen

$0\longrightarrow P_{n-d}{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}P_{n}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0$

vor. Daher gilt

${}H_{R}(n)=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\,.$

Nach Beispiel ist

${}H_{P}(n)={\binom {n+m-1}{m-1}}\,$

für ${}n\geq 0$. Somit ist für ${}n\geq d$

${}{\begin{aligned}H_{R}(n)&=H_{P}(n)-H_{P}(n-d)\\&={\binom {n+m-1}{m-1}}-{\binom {n-d+m-1}{m-1}}\\&={\frac {(n+m-1)\cdots (n+1)}{(m-1)!}}-{\frac {(n-d+m-1)\cdots (n-d+1)}{(m-1)!}}\\&={\frac {1}{(m-1)!}}{\left({\frac {m(m-1)}{2}}+(m-1)d-{\frac {m(m-1)}{2}}\right)}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}\\&={\frac {d}{(m-2)!}}n^{m-2}+{\text{ kleinere Terme}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage