Polynomring/Lemma von Gauß/Fakt/Beweis
Beweis
Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung mit nicht-konstanten Polynomen . Sowohl in als auch in kommen nur endlich viele Nenner aus vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner multiplizieren kann und somit eine Darstellung mit erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Nach Fakt ist auch im Polynomring prim. Da es das Produkt teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir . Dann kann man mit kürzen und erhält eine Gleichung der Form
![{\displaystyle {}g,h\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dbe128161db98044df91781409997fc369c768)
![{\displaystyle {}{\tilde {g}},{\tilde {h}}\in R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b86c6f6e0bc601a320d15d4506213ecf9db853e)
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung
mit nicht konstanten Polynomen im Widerspruch zur Voraussetzung.
![{\displaystyle {}h',g'\in R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3138378f58d4c8739b9620e12fa5e88c53ece9)