Polynomring/Q/Durchschnitt von Hauptidealen/X-2 und X+3/Aufgabe/Lösung

Das Produkt ${}(X-2)(X+3)$ gehört zu den beiden Hauptidealen ${}(X-2)$ und ${}(X+3)$, also auch zum Durchschnitt ${}(X-2)\cap (X+3)$. Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von ${}(X-2)(X+3)$ zu diesem Ideal.

Es sei umgekehrt ${}F\in (X-2)\cap (X+3)$. Dann ist

${}F=(X-2)P=(X+3)Q\,$

mit gewissen Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {Q} [X]$. Daher ist

${}F(2)=0=5\cdot Q(2)\,.$

In ${}\mathbb {Q}$ folgt daraus

${}Q(2)=0\,.$

Daraus ergibt sich nach Fakt, dass

${}Q=(X-2)G\,$

ist. Also ist insgesamt

${}F=(X+3)Q=(X+3)(X-2)G\,,$

also ${}F\in (X-2)(X+3)$.

Zur gelösten Aufgabe