Polynomring über F q/Restklassenring ist endlich/Aufgabe/Lösung

Sei ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist ${}{\mathfrak {a}}=(P)$ mit einem Polynom ${}P\neq 0$. Man kann annehmen, dass ${}P$ normiert ist, dass also der Leitkoeffizient ${}1$ ist. Dann ist

${}R/{\mathfrak {a}}=R/(P)={\mathbb {F} }_{q}[X]/(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0})\,.$

Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz ${}X^{n}<$ durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz ${}X^{k}$ durch Polynome vom Grad ${}\leq n-1$ ausdrücken, d.h. die Potenzen ${}X^{0},X^{1},\ldots ,X^{n-1}$ bilden ein ${}{\mathbb {F} }_{q}$-Erzeugendensystem (sogar eine Basis) dieser ${}{\mathbb {F} }_{q}$-Algebra.

Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.

Zur gelösten Aufgabe