Polynomring über F q/Restklassenring ist endlich/Aufgabe/Lösung

Sei ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist mit einem Polynom . Man kann annehmen, dass normiert ist, dass also der Leitkoeffizient ist. Dann ist

Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz durch Polynome vom Grad ausdrücken, d.h. die Potenzen bilden ein -Erzeugendensystem (sogar eine Basis) dieser -Algebra.

Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.