Polynomring über Körper/Spektrum/Beispiel

Für den Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ vermitteln die sogenannten Punktideale eine gute geometrische Vorstellung von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Ein Punktideal hat die Form

$(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$

zu einem festen Tupel ${}a=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$. Ein Punktideal ist der Kern des durch ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ festgelegten ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\varphi _{a}\colon R\longrightarrow K$

und daher ein maximales Ideal. Diese Zuordnung definiert insgesamt eine injektive Abbildung

$K^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so werden dadurch sogar alle maximale Ideale von ${}R$ erfasst. Daher stellt man sich das Spektrum des Polynomrings in ${}n$ Variablen als den affinen Raum vor, der allerdings auch noch weitere nichtabgeschlossene Punkte enthält. Zu einem Polynom ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ besitzt ${}V(f)\cap K^{n}$ eine anschauliche Interpretation: Es ist ${}a\in V(f)\cap K^{n}$ genau dann, wenn ${}f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$ ist.