Zu einem kommutativen Ring R {\displaystyle {}R} und den Polynomringen A = R [ X 1 , … , X m ] {\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]} und B = R [ Y 1 , … , Y n ] {\displaystyle {}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]} ist
Die Vorgabe X i ↦ X i ⊗ 1 {\displaystyle {}X_{i}\mapsto X_{i}\otimes 1} und Y j ↦ 1 ⊗ Y j {\displaystyle {}Y_{j}\mapsto 1\otimes Y_{j}} definiert den Einsetzungshomomorphismus
Die Zuordnung
ist R {\displaystyle {}R} -bilinear und definiert nach Fakt (2) einen R {\displaystyle {}R} -Modulhomomorphismus
Beide Abbildungen sind invers zueinander.
und den
Polynomringen
![{\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ad7b5a050632ec4b0438f160656dd5d0fbb293)
und ![{\displaystyle {}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96016800d2d06ac0687044b908c64d58207aeb54)
ist
![{\displaystyle {}A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a927bc7145f290a05326360dcd7619fbcdfe2d)
und 
definiert den
Einsetzungshomomorphismus
![{\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\longrightarrow A\otimes _{R}B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efe68318e0bfb4206a2f167e035bcca22b949e1)
![{\displaystyle A\times B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86531a85a50d617d9be37349626019f97402ef8)
-bilinear
und definiert
nach Fakt (2)
einen
-Modulhomomorphismus
![{\displaystyle A\otimes _{R}B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae82f74e59be2d48aea2db946ece530c4beaf19)
