Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis2

Beweis

Nach Definition ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Fakt und Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich

${}{\left(x^{\alpha }\right)}'={\left(\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\right)}'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage