Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}I$ eine beliebige ${}S$-Interpretation. (1). Aufgrund der Bedeutung des Gleichheitszeichens unter jeder Interpretation gilt ${}I(t)=I(t)$, also

$I\vDash t=t.$

(2). Es gelte

$I\vDash s=t\wedge \alpha {\frac {s}{x}},$

also ${}I\vDash s=t$ und ${}I\vDash \alpha {\frac {s}{x}}$. Das bedeutet einerseits ${}I(s)=I(t)$. Andererseits gilt nach dem Substitutionslemma

$I{\frac {I(s)}{x}}\vDash \alpha .$

Wegen der Termgleichheit gilt somit auch

$I{\frac {I(t)}{x}}\vDash \alpha$

und daher, wiederum aufgrund des Substitutionslemmas, auch

$I\vDash \alpha {\frac {t}{x}}.$

Zur bewiesenen Aussage