Prägarben/Vergarbung/Einführung/Textabschnitt
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum nennt man die durch
und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von .
Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung.
Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum und die Vergarbung zu . Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es gibt einen natürlichen
Prägarben-Morphismus
der durch
gegeben ist.
- Es ist
für jeden Punkt .
- Die Vergarbung ist eine Garbe.
- Wenn eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ein Isomorphismus.
- Zu jedem Prägarben-Morphismus
in eine Garbe gibt es eine eindeutige Faktorisierung
- Ein Element definiert ein Tupel , das direkt die Kompatibilitätsbedingung erfüllt. Somit gibt es eine wohldefinierte Abbildung
Zu liegt das kommutative Diagramm
vor. Die Kommutativität beruht darauf, dass die Keime zu einem Schnitt im Halm eines Punktes nur von den offenen Umgebungen des Punktes abhängen.
- Wegen (1) und
Fakt
hat man eine natürliche Abbildung
Zum Nachweis der Surjektivität sei gegeben, und sei repräsentiert durch . Dies wird in einer offenen Umgebung von durch ein Element
repräsentiert. Dann ist der Keim direkt ein Urbild von .
Zum Nachweis der Injektivität seien mit gegeben. Wir können annehmen, dass und als Schnitte von auf der gleichen offenen Menge gegeben sind. Die Gleichheit im Halm der Vergarbung besagt, dass es eine offene Menge mit
gibt. Dann ist insbesondere .
- Es sei
eine offene Überdeckung und seien Schnitte mit für alle . Dann gilt insbesondere
für jeden Punkt , da ja jeder Punkt in einem der enthalten ist. Somit gilt insbesondere Gleichheit im Produkt der Halme und dies bedeutet die Gleichheit in der Vergarbung.
Es seien nun Schnitte
mit gegeben. Dies bedeutet zunächst, dass es zu jedem Punkt einen eindeutigen Keim gibt, der durch eines der festgelegt ist. Das Tupel , erfüllt dann aber direkt die Kompatibilitätsbedingung.
- Nach (1) hat man einen Prägarben-Morphismus
der nach (2) halmweise bijektiv ist. Nach Voraussetzung liegt links und nach (3) liegt rechts eine Garbe vor. Also ist nach Fakt die Abbildung ein Isomorphismus.
- Siehe Aufgabe.