Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}T\in {\mathcal {P}}$. Das Mengensystem ${}\{T\}$ ist natürlich eine Überpflasterung von ${}T$, sodass ${}\mu (T)$ in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung ${}T_{i}$, ${}i\in I$, von ${}T$ gilt ${}T=\bigcup _{i\in I}T\cap T_{i}$ und somit

${}\mu (T)\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T\cap T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu (T_{i})\,,$

sodass ${}\mu (T)={\tilde {\mu }}(T)$ gilt.
Für beliebige Teilmengen ${}S\subseteq T$ gilt trivialerweise ${}{\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(T)$, da eine Überpflasterung von ${}T$ insbesondere eine Überpflasterung von ${}S$ ist.
Es sei nun ${}T_{i}$, ${}i\in I$, eine abzählbare Familie von Teilmengen von ${}M$. Wir müssen ${}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})$ nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ${}\infty$ ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als ${}\epsilon >0$ sei. Sei ${}\epsilon _{i}>0$, ${}i\in I$, so gewählt, dass ${}\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\leq \epsilon$ ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von ${}I$, siehe Aufgabe. Zu jedem ${}i\in I$ gibt es eine Überpflasterung ${}T_{i}\subseteq \bigcup _{j\in J_{i}}T_{ij}$ mit einer abzählbaren Indexmenge ${}J_{i}$, mit ${}T_{ij}\in {\mathcal {P}}$ und mit

${}{\tilde {\mu }}(T_{i})\leq \sum _{j\in J_{i}}\mu (T_{ij})\leq {\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\,.$

Die Menge ${}L=\bigcup _{i\in I}J_{i}$ ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch ${}T_{\ell }$, ${}\ell \in L$, (mit ${}\ell =(i,j)$) gegebene Überpflasterung von ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$. Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}&\leq \sum _{\ell \in L}\mu {\left(T_{\ell }\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\left(\sum _{j\in J_{i}}\mu {\left(T_{ij}\right)}\right)}\\&\leq \sum _{i\in I}{\left({\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon _{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\sum _{i\in I}\epsilon _{i}\\&\leq \sum _{i\in I}{\tilde {\mu }}(T_{i})+\epsilon ,\end{aligned}}$  

ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage