Primideal/Vermeidung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein ${}i$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=1$ ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für ${}n$ Primideale bewiesen, und seien ${}n+1$ Primideale gegeben. Für jedes ${}i$ können wir annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$. Dann muss insbesondere ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ sein. Das Element ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$ und damit ist auch ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein ${}i$. Dies ist aber sowohl bei ${}i=1$ als auch bei ${}i\geq 2$ ein Widerspruch.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ Ideale und ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.

Dann ist ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ oder ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein ${}i$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, bei ${}n=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für ${}n$ Primideale bewiesen, und seien ${}n+1$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist

${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,$

sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ${}f\notin {\mathfrak {b}}\cup {\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {p}}_{n}$. Bei

${}f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,$

sind wir fertig, sei also ${}f\in {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Wäre

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$

so würde nach Aufgabe ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ für ein ${}i\leq n$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$

sei ${}g\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}$ und ${}g\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Dann ist ${}f+g\in {\mathfrak {a}}$ und ${}f+g\notin {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n+1}{\mathfrak {p}}_{i}$.

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