Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen, einfach korrigierte symmetrische Codimension

Sei ${}I=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq \mathbb {Q} [x,y,z]$ ein Ideal und sei

${}0\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{1}\rightarrow {\mathcal {O}}\rightarrow 0\,$

die zugehörige freie Auflösung auf ${}\mathbb {P} ^{2}$. Also ${}{\mathcal {F}}_{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(-d_{i})$ mit ${}d_{i}=degf_{i}$, ${}Syz_{1}=$ Bild und Kern in ${}{\mathcal {F}}_{1}.$. Man hat exakte Sequenzen

${}0\rightarrow S^{q}(Syz_{1})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{1})\rightarrow S^{q-1}({\mathcal {F}}_{1})\rightarrow 0\,$

und

${}\bigwedge ^{2}{\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow Syz_{1}\rightarrow 0\,$

Sei

${}{\mathcal {T}}_{q}:=ker(S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}(Syz_{1}))=ker(S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{1})).\,$

Man hat also die kurze exakte Sequenz

${}0\rightarrow {\mathcal {T}}_{q}\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}(Syz_{1})\rightarrow 0.\,$

Da auf ${}\mathbb {P} ^{2}$ gilt ${}H^{1}({\mathcal {O}}(\ell ))=0$ für alle ${}\ell$, ergeben sich aus den beiden kurzen exakten Sequenzen die Cohomologiesequenzen

${}0\rightarrow H^{0}(S^{q}(Syz_{1}))\rightarrow H^{0}(S^{q}({\mathcal {F}}_{1}))\rightarrow H^{0}(S^{q-1}({\mathcal {F}}_{1}))\rightarrow H^{1}(S^{q}(Syz_{1}))\rightarrow 0\,$

${}0\rightarrow H^{0}({\mathcal {T}}_{q})\rightarrow H^{0}(S^{q}({\mathcal {F}}_{2}))\rightarrow H^{0}(S^{q}(Syz_{1}))\rightarrow H^{1}({\mathcal {T}}_{q})\rightarrow 0\,$

D.h. wenn wir die symmetrische Codimension sowie die ${}h^{0}({\mathcal {T}}_{q}(m))$ für alle Twists ${}m$ berechnen können, dann ergibt sich

${}K:=\sum _{m}{\big (}h^{1}(S^{q}(Syz_{1})(m))-h^{1}({\mathcal {T}}_{q}(m)){\big )}\,$

als Wechselsumme bekannter Terme.

Dieses ${}K$ ist die korrigierte symmetrische Codimension, $\sum _{m}h^{1}(S^{q}(Syz_{1})(m))$ ist die symmetrische Codimension und ${}\sum _{m}h^{1}({\mathcal {T}}_{q}(m))$ ist der Korrekturterm.

Beispiele

/x,y,z (Kontrollbeispiel)

x^2,y^2,z^2;xyz (Paraklasse im Polynomring; auf Fermat-Kurve im solid closure in Charakterisitk null, die Zugehörigkeit zum tight closure variiert mit der Charakteristik)

/x^2-y^2,y^2-z^2,xy,xz Hier hat der letzte Auflösungsmodul den Rang ${}2$, die globalen Schnitte von ${}T_{q}$ sind also durch die Auflösung eindeutig bestimmt.

/x^3,y^3,z^3;xyz und Ideal mit numerisch gleicher Auflösung

/x^3,y^3,z^3;xy^2+yz^2+zx^2 und Ideal mit numerisch gleicher Auflösung