Projektive Gerade/Picardgruppe/Beispiel

Wir betrachten die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ über einem Körper ${}K$ mit der Standardüberdeckung

${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=D_{+}(X)\cup D_{+}(Y)\,$

mit den beiden affinen Geraden ${}D_{+}(X)=\operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {Y}{X}}]\right)}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}D_{+}(Y)=\operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X}{Y}}]\right)}\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wegen Fakt und Bemerkung können wir die Picardgruppe der projektiven Geraden berechnen, indem wir die Einheiten in

${}\Gamma {\left(D_{+}(XY),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[{\frac {X}{Y}},{\frac {Y}{X}}]\,$

modulo den Einheiten auf den beiden affinen Stücken betrachten. Dies ergibt die Gruppe ${}{\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{k}$, ${}k\in \mathbb {Z}$, somit ist die Picardgruppe isomorph zu ${}\mathbb {Z}$.