Projektive ebene Kurve/Parametrisierung/Textabschnitt
Satz
Es sei
eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen ) davon. Es seien die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von derart, dass alle den Grad besitzen.
Dann definieren die einen Morphismus
derart, dass das Diagramm
kommutativ ist.
Dabei liegt das Bild unter auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.
Beweis
Die Abbildung ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz , da insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass einerseits über auf
abgebildet wird und andererseits auf
Für den Zusatz sei der affine Abschluss des Bildes und der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement . Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild offen in , und es kann nur Punkte aus enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.
Satz
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein Polynom in einer Variablen vom Grad .
Dann wird der projektive Abschluss des Graphen durch beschrieben, wobei die Homogenisierung von bezeichnet. Dabei gibt es in bei (mit ) noch den glatten Punkt und bei noch den Punkt , der bei singulär ist.
Bei besitzt der Punkt im Unendlichen die Multiplizität .
Beweis
Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus Fakt. Den Schnitt von mit der projektiven Geraden im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung setzt. Bei liegt insgesamt die Geradengleichung vor, und der Schnitt mit legt den einzigen Punkt fest. Bei liegt die Kurvengleichung
mit vor. Setzt man , so bleibt übrig, woraus folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt .
Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf . D.h. man setzt und erhält die affine Gleichung
und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich mit der einzigen durch gegebenen Tangente. Bei ist die Multiplizität und daher liegt ein singulärer Punkt vor.
Dieser Satz ist so zu verstehen, dass bei
die -Achse
(dafür steht der Punkt )
„asymptotisch“ zum Graphen gehört
(und auch die einzige Asymptote des Graphen ist).
Die unendlich ferne Gerade ist die
(einzige)
Tangente an diesem Punkt. Die Normalisierung von ist der , und zwar ist die Normalisierungsabbildung
nach Fakt,
angewendet auf die affine Parametrisierung des Graphen
durch
gegeben. Dabei geht der unendlich ferne Punkt auf .
Satz
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome in einer Variablen vom Grad ohne gemeinsame Nullstelle. Es sei und sei die zugehörige rationale Funktion. Es seien und die zugehörigen Homogenisierungen
Dann wird der projektive Abschluss des Graphen von bei durch
und bei durch
beschrieben.
Beweis
Die affine Beschreibung der Kurve ist . Nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung von beschrieben. Für diese ist der maximale Grad von und ausschlaggebend, der Summand mit kleinerem Grad muss durch eine geeignete Potenz von „aufgefüllt“ werden. Dies ergibt die angegebenen Gleichungen.