Projektiver Raum/Effektiver Divisor/Funktion/Glatte Kurve/Induzierter Divisor/Schnitt/Aufgabe

Es sei

${}F=F_{1}^{a_{1}}\cdots F_{r}^{a_{r}}\,$

die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ (über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$) vom Grad ${}e$ im homogene Primpolynome ${}F_{j}$ und sei

${}D=\sum _{j=1}^{n}a_{j}V_{+}(F_{j})\,$

der zugehörige Weildivisor auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form (eindeutig bis auf Skalierung) darstellen.
2. Es gilt mengentheoretisch

   ${}V_{+}(F)=\bigcup _{j=1}^{n}V_{+}(F_{i})\,.$

3. Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von ${}V_{+}(F)$ sei. Dann induziert ${}D$ einen Weildivisor ${}D{|}_{C}$ auf der Kurve ${}C$, indem man zu jedem Punkt ${}P\in C$ die Ordnung von ${}F$ in ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$ betrachtet.
4. Die eingeschränkte invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(e){|}_{C}$ ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf ${}C$ ist, die zu ${}D{|}_{C}$ gehört. Es gilt also

   ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(D){|}_{C}={\mathcal {O}}_{C}(D{|}_{C})\,.$

5. Linear äquivalente Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve.

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