Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Kanonische Garbe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden die kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{Y{|}K}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

von lokal freien Garben auf ${}Y$ aus Fakt an. Nach Fakt und Fakt ist

{}{\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{Y}(-d)\otimes \omega _{Y{|}K}&={\mathcal {O}}_{Y}(-d)\otimes \operatorname {Det} \Omega _{Y{|}K}\\&=\operatorname {Det} j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\\&=j_{Y}^{*}\operatorname {Det} \Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\\&=j_{Y}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-n-1)\\&={\mathcal {O}}_{Y}(-n-1).\end{aligned}}

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Tensorierung mit ${}{\mathcal {O}}_{Y}(d)$ ergibt die Behauptung.