Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Surjektion mit direkter Summe/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es ein ${}\ell$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von endlich vielen globalen Schnitten erzeugt wird. Nach Fakt  (2) liegt also ein surjektiver Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}(\ell )$

vor. Wir tensorieren mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )$ und erhalten eine Surjektion

${\left({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-\ell )\right)}^{r}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

Zur bewiesenen Aussage