Projektives Schema/Quasikohärente Garbe/Azyklische Überdeckung/Cech-Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}$ die Variablen des homogenen Koordinatenringes zum projektiven Schema ${}X$, also ${}X=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\right)}$ Sämtliche Durchschnitte

${}\bigcap _{i\in J}D_{+}(X_{i})=D_{+}(\prod _{i\in J}X_{i})\,$

sind affin nach Fakt. Zu ${}{\mathcal {F}}$ gibt es eine welke quasikohärente Garbe ${}{\mathcal {Z}}$ mit zugehöriger kurzer exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Hierbei ist der Quotient nach Aufgabe wieder quasikohärent. Nach Fakt besitzen quasikohärente Garben auf affinen Schemata keine Kohomologie. Daher können wir Fakt anwenden.

Zur bewiesenen Aussage