Aus der linearen Algebra ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz bekannt.
Bei
ist die Aussage richtig. Es sei also
und damit auch
.
Damit hat man die Abschätzungen
Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
Skalarprodukte sind positive definite Bilinearformen auf einen reellen oder komplexen Vektorraum. Nach
der Polarisationsformel
ist allgemeiner eine symmetrische Bilinearform bereits durch die Werte festgelegt, die Zuordnung
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heißt die zugehörige quadratische Form. Diese Konzepte kann man auch für kommutative Gruppen und allgemeiner Moduln über einem kommutativen Ring entwickeln, ein klassischer Gegenstand sind quadratische Formen auf , siehe Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 28.
Dieses Konzept ist insbesondere für kommutative Gruppen anwendbar, die ja -Moduln sind.
Man beachte, dass für die zugehörige Bilinearform die Beziehung
-
gilt. Deshalb wäre es schöner, mit dem Faktor die zugehörige Bilinearform zu definieren, was aber in Charakteristik nicht geht.
Die Form
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ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist
Bei
ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also
.
Wegen der positiven Definitheit ist dann
-
woraus
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folgt.