Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Quadrat des Standardideals/Beispiel

Wir behaupten, dass im quadratischen Zahlbereich ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Ideal

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,$

kein Hauptideal ist, was in Beispiel gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige Idealklasse ein von ${}0$ verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist

${}{\mathfrak {p}}^{2}=(4,2+2{\sqrt {-5}},-4+2{\sqrt {-5}})=(2)\,.$

Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$ klar und die umgekehrte Inklusion ${}\supseteq$ ergibt sich aus

${}-4+(2+2{\sqrt {-5}})-(-4+2{\sqrt {-5}})=2\,.$

Wir betrachten nun das Ideal

${}{\mathfrak {q}}=(7,3+{\sqrt {-5}})\,.$

Der Restklassenring ist

${}\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{2}+5,3+X)\cong \mathbb {Z} /(7)\,,$

sodass ein Primideal mit der Norm ${}7$ vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es kein Element mit Norm ${}7$ gibt. Die beiden Ideale ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation

$Q(R)\longrightarrow Q(R),\,h\longmapsto h{\frac {3+{\sqrt {-5}}}{2}}.$

Wegen

${}2\cdot {\frac {3+{\sqrt {-5}}}{2}}=3+{\sqrt {-5}}\in {\mathfrak {q}}\,$

und

${}(1+{\sqrt {-5}})\cdot {\frac {3+{\sqrt {-5}}}{2}}={\frac {-2+4{\sqrt {-5}}}{2}}=-1+2{\sqrt {-5}}=-7+2(3+{\sqrt {-5}})\in {\mathfrak {q}}\,$

induziert dies einen injektiven ${}R$-Modulhomomorphismus

${\mathfrak {p}}\longrightarrow {\mathfrak {q}},$

der wegen

${}7=-(-1+2{\sqrt {-5}})+2(3+{\sqrt {-5}})\,$

auch surjektiv ist. Somit ist

${}{\mathfrak {p}}\cdot ({\frac {3+{\sqrt {-5}}}{2}})={\mathfrak {q}}\,.$

In Beispiel wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von ${}R$ gleich ${}\mathbb {Z} /(2)$ ist.