Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definiere für Elemente und Ideal/Inverses in Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Konjugation zu einem Element ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ist folgendermaßen definiert: man kann ${}f$ schreiben als ${}f=a+b{\sqrt {D}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$, und definiert ${}{\bar {f}}=a-b{\sqrt {D}}$. Für Elemente aus ${}A_{D}$ ist die Konjugation genauso definiert.

Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

${}{\overline {\mathfrak {a}}}={\left\{{\bar {f}}\mid f\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,.$

Dies ist ein Ideal wegen ${}{\bar {f}}+{\bar {g}}={\overline {f+g}}$ und wegen ${}a{\bar {f}}={\overline {{\bar {a}}f}}$.

Nach Fakt ist

${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,$

ein Hauptideal, also ist das Produkt der beiden Ideale das neutrale Element in der Klassengruppe, also sind sie invers zueinander.

Zur gelösten Aufgabe