Quadratischer Zahlbereich/Norm/Binäre quadratische Form/Beispiel

Wir bestimmen für die quadratischen Zahlbereiche ${}R$ die binäre quadratische Form, die auf ${}R$ durch die Norm gegeben ist. Es sei also ${}R$ der Ganzheitsring in ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ zu einer quadratfreien Zahl ${}D\neq 0,1$.

Es sei zunächst

${}D=2,3\mod 4\,.$

Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und wir arbeiten mit der ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}1,{\sqrt {D}}$. Die Norm eines Elementes ${}x+y{\sqrt {D}}$ ist somit

${}N(x+y{\sqrt {D}})=\det {\begin{pmatrix}x&Dy\\y&x\end{pmatrix}}=x^{2}-Dy^{2}\,$

und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist

${}\operatorname {diskr} (N)=4D\,,$

was gemäß Fakt mit der Diskriminante ${}\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.

Es sei nun

${}D=1\mod 4\,.$

Dann ist der Ganzheitsring nach Fakt gleich ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ mit

${}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$

und wir arbeiten mit der ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}1,\omega$. Die Norm eines Elementes ${}x+y\omega$ ist wegen

${}{\left(x+y\omega \right)}\omega =x\omega +y\omega ^{2}=x\omega +y{\left({\frac {D-1}{4}}+\omega \right)}=y{\frac {D-1}{4}}+(x+y)\omega \,$

gleich

${}N(x+y\omega )=\det {\begin{pmatrix}x&{\frac {D-1}{4}}y\\y&x+y\end{pmatrix}}=x^{2}+xy-{\frac {D-1}{4}}y^{2}=x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}\,$

und dies ist die explizite Beschreibung der durch die Norm gegebenen quadratischen Form. Ihre Diskriminante ist

${}\operatorname {diskr} (N)=1+(D-1)=D\,,$

was gemäß Fakt mit der Diskriminante ${}\triangle (R)$ des Zahlbereichs übereinstimmt.