Quadratischer Zahlbereich/Reell/Fundamentaleinheit/Größer 1/Erste Komponente minimal/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine Fundamentaleinheit ${}a+b{\sqrt {D}}$, und diese ist unter den Einheiten oberhalb von ${}1$ minimal. Es sei ${}a'+b'{\sqrt {D}}$ eine weitere solche Einheit ${}>1$. Dann ist diese von der Form

${}{\begin{aligned}a'+b'{\sqrt {D}}&={\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}^{n}\\&=a^{n}+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}D+\ldots {\left({\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\ldots \right)}{\sqrt {D}}\end{aligned}}$

mit ${}n\geq 2$. Bei ${}a\geq 1$ folgt daraus sofort, dass ${}a'\geq a$, und bei ${}a<1$ kommt wegen Fakt nach Fakt nur ${}a={\frac {1}{2}}$ in Frage, was überhaupt (unabhängig von der Einheitenbedingung) das Minimum für die erste Komponente ist.

Zur bewiesenen Aussage