Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die quadratische Matrix

${}M={\left(\alpha _{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit

${}\alpha _{ij}={\begin{cases}a_{ij}{\text{ für }}i=j\,,\\{\frac {a_{ij}}{2}}{\text{ für }}i<j\,,\\{\frac {a_{ji}}{2}}{\text{ für }}i>j\,.\end{cases}}\,$

Damit hat der rein-quadratische Term des Polynoms die Gestalt

$\left(X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}\right)M{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}.$

Diese Gleichung gilt für jede Ersetzung für ${}X_{i}$ durch Elemente aus ${}K$ und als Gleichung in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Nach Definition ist die Matrix ${}M$ symmetrisch. Nach Fakt gibt es eine Orthonormalbasis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ des ${}\mathbb {R} ^{n}$, bezüglich der die neue Gramsche Matrix

${B^{\text{tr}}}MB$

Diagonalgestalt besitzt, wobei ${}B$ den Basiswechsel bezeichnet. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ die Variablen bezüglich des neuen Orthonormalsystems, die ${}V_{i}$ beschreiben also als Funktionen die Linearformen zu dieser neuen Basis, also die Dualbasis dazu. In den neuen Variablen fallen die gemischten quadratischen Ausdrücke weg, d.h. das Polynom bekommt die Gestalt

${}F=\sum _{1\leq i\leq k}e_{i}V_{i}^{2}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}V_{j}+g\,,$

mit einem gewissen ${}k$ zwischen ${}1$ und ${}n$, wobei die ${}e_{i}\neq 0$ seien. Die Summanden

$e_{i}V_{i}^{2}+f_{i}V_{i}$

können durch quadratisches Ergänzen mit den neuen Variablen ${}U_{i}=V_{i}+h_{i}$ auf die Gestalt

$e_{i}U_{i}^{2}+g_{i}$

gebracht werden. Abgesehen vom nun rein quadratischen Term bleibt entweder eine Konstante oder ein lineares Polynom übrig, welches als Variable ${}U_{k+1}$ angesetzt werden kann.

Zur bewiesenen Aussage