Unter räumlicher Diffusion, auch passiver Transport genannt, versteht man die zufällige Bewegung der Molekule eines Stoffes (Brownsche Bewegung). Das System bemüht sich in ein Gleichgewicht (Equilibrium) zu kommen. Mathematisch wird dieses Gleichgewicht durch die partielle Differentiagleichung

beschrieben, wobei die Funktion die unbekannte Konzentration und den ortsabhängigen Diffusionskoeffizienten beschreibt. Speziell ergibt sich für die bekannte Laplace Gleichung Sie auch die Definitionen von Differentialoperatoren Divergenz , Gradient und Laplace .

Diese Gleichung modelliert zugleich auch die stationäre Wärmeverbreitung in einem Stoff, in diesem Fall ist die unbekannte Funktion die Temperatur.

Zeitabhängige Diffusion Bearbeiten

Im Prozess der Diffusion ist neben der räumlicher Veränderung auch die zeitliche Konzentrationsveränderung zu beachten. Die Teilchen diffundieren aus den dicht-besiedelten Bereichen mit hoher Konzentration in die dünn-besiedelte Gebiete mit niedriger Konzentration; die Konzentration ändert sich mit der Zeit, solange das Gleichgewicht nicht erreicht ist. Dies modelliert man mathematisch mit der Abhängigkeit der gesuchten Funktion von der Zeit    Diese Funktion erfüllt die (instationäre) inhomogene Diffusionsgleichung

 

Im Falle einer extern eingebrachten Konzentrationsquelle erfüllt   die inhomogene Gleichung

 

wobei die externe Flussrate   den Teilchenzufluss modelliert.

Wird der diffundierende Stoff zusätzlich durch eine Hintergrundgeschwindigkeit   bewegt (gerichteter Transsport), so erfüllt die Konzentration die Konvektion-Diffusionsgleichung

 
Für ein konstantes Geschwindigkeitsfeld   und konstanten Diffusionskoefizient   lautet die Konvektion-Diffusionsgleichung

 

Physikalische Herleitung Bearbeiten

Die instationäre Diffusionsgleichung beschreibt das Bewegungsprinzip der Teilchen oder Moleküle, die vom Ort mit höherer Konzentration in Orte mit niedriger Konzentration diffundieren. Betrachtet wird ein dünner horizontaler Stab der Länge L, wobei die Stoffkonzentration in vertikaler Richtung homogen ist. Mathematisch wird daher die Konzentration in einer räumlichen Dimension untersucht, auf einem Intervall  

Man bezeichnet mit   die Diffusionsflussrate (auch Teilchenstromdichte genannt), mit der die Teilchen den Punkt   in Zeit   von links nach rechts überqueren.

 
Teilchendiffusion

Die Gesamtkonzentration in einem Abschnitt des Intervalls zwischen   und   zur Zeit   ist  

Folgende zwei physikalische Gesetze werden benutzt, um die Diffusionsgleichung herzuleiten:

  1. Erhaltungsgesetz: Der Stoff in einem Volumen entsteht oder verschwindet nicht, sondern bleibt erhalten (sofern nicht von außen zugefügt oder weggenommen).
  2. Fick'sches Gesetz: Die Diffusionsflussrate (Teilchenstromdichte)   ist proportional zum Konzentrationsgradient, die Proportionalitätskonstante ist der negative Diffusionskoeffizient - 
     
    Dieses Gesetz drückt die Tatsache aus, dass sich die Teilchen in der Richtung des Konzentrationsabstiegs bewegen. Bei der Wärmeleitung wird das Fourier 'sche Gesetz angewendet, welches besagt, dass der Wärmestrom entgegen dem Temperaturgradient fliesst.

Aus dem Erhaltungsgesetz 1. folgt, dass die zeitliche Veränderung der Konzentration im Stababschnitt   durch die Teilchenbewegung, also durch den Massenfluss durch die Querschnittsflächen in   und   erzeugt wird,

 
Nach dem Teilen der obigen Gleichung durch  und dem Grenzübergang   erhält man die sogennante Kontinuitätsgleichung

 

Ersetzt man nun die Diffusionsflussrate   über das Fisch'sche Gesetz, so erhält man die homogene Diffusionsgleichung

 

Ist der Diffusionskoeffizient konstant, wie bei isotropen Materialien, lautet die Diffusionsgleichung in einer räumlichen Dimension

 

Im Diffusionsprozess mit gerichtetem Transport trägt außer der Teilchenbewegung durch Diffusion auch noch die Bewegung durch das Geschwindigkeitsfeld   zum Materialtransport bei. Also setzt sich der gesamte Materialfluss   aus dem Diffusionsfluss   und dem zusätzlichen Konvektionsfluss   zusammen,

 

Aus der Erhaltungsgleichung

 

erhält man nach dem Teilen mit   und dem Grenzübergang   die Konvektion-Diffusionsgleichung (für konstanten Diffusionskoeffizienten):

 

Explizite Lösungen Bearbeiten

Die Lösung der Laplace-Gleichung   und der inhomogenen Poissongleichung   lässt sich durch eine Integralformel formulieren. Diese Lösungsformel enthält die sogennante Fundamentallösung, die sich anhand der Rotationsinvarianz des Laplace-Operators finden lässt.

Die Lösung eines Dirichletproblems (Randwertaufgabe) für die Laplace und die Poissongleichung auf einem beschränkten Gebiet   lässt sich auch mittels Integralformen ausdrücken, hier wird jedoch die Greensche Funktion benötigt. Die Konstruktion der Greenschen Funktion ist in einigen Spezialfälllen wie beispielsweise  (Halbraum) oder Kugel  bekannt.

Explizite Lösungsformeln für allgemeine Gebiete oder ortsabhängige Diffusionskoeffizienten sind nicht bekannt.

Auch für die instationäre Diffusionsgleichung in   mit konstanten Koeffizienten existiert eine Formel für die Fundamentallösung und entsprechende Lösungsformel für das Cauchy-Problem (Anfangswertaufgabe), sogenannte Klassiche Lösungen.

Allerdings sind diese klassischen Formeln auch nur in Spezialfällen einsetzbar. Oft werden deswegen andere Lösungsmethoden verwendet, wie zum Beispiel der Separationsansatz oder die Fourier Transformation. Eine populäre und intensiv untersuchte Methode der Berechnung einer Annäherung der Lösung partieller Differentialgleichungen sind numerische Diskretisierungsmethoden.

Numerische Lösung Bearbeiten

Der einfachste Lösungszugang ist etwa die Methode der finiten Differenzen. In diesem Verfahren werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt. Im Falle eindimensionaler Poissongleichung   entsteht nach der numerischen Diskretisierung durch Ersetzen von   durch zweiten Differenzenquotienten ein lineares System der Form  , mit einer tridiagonaler Systemmatrix  , siehe ein Beispiel für die Diskretisierung der Poisson- und Wärmeleitungsgleichung am Intervall .

Bei zweidimensionaler Randwertaufgabe mit homogenen Randbedingungen:

 
wobei   entsteht dagegen unter Verwendung eines äquidistanten Gitters mit konstanter Gittergröße   nach der numerischen Diskretisierung ein lineares System mit Blocktridiagonaler Matrix

  mit Diagonalblock  und der Einheitsmatrix   auf der Nebendiagonale.

Der Vektor der Unbekannten besteht aus den Approximationen der Lösung in den Gitterpunkten wobei man in den Vektor in der Reihenfolge aufstellt, die zuerst in der ersten Zeile des Gitters ( ist fest) die Gitterpunkte von links nach rechts einordnet,  , dann in der zweite Zeile u.s.w. Die Approximationswerte sind in dem unbekannten Vektor dann wie folgt geordnet,

 
In der selben Reihenfolge ist auch der Vektor der rechten Seite aufgestellt,
 
Sind die Randwerte der gesuchten Funktion unterschiedlich von Null,  , muss der Vektor der rechten Seite entsprechend angepasst werden.


Folgende Simulationen mithilfe der Konvektionsdiffusionsgleichung beschreiben die Verbreitung der ausgestoßenen KFZ-Schadstoffe in einer Kreuzung. Die Vermischung der Abgase ist durch den Hintergrudstransport (modelliert durch laminare Strömung) und durch die Bewegung der Fahrzeuge (technisch umgesetzt durch Gitterbewegung und remeshing) verursacht.

 
Simulation of exhaust gases spread of two stagnant and two moving cars with background airflow, mesh movement and remeshing
 
Simulation der Verbreitung der KFZ-Abgase mit Hintegrundströmung














Autor: A. Hundertmark

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Martin Keller-Resse: Stochastische Analysis, Vorlesungsskript Stochastic Calculus, Institute of Mathematical Stochastics of TU Dresden.
  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).
  • siehe auch Diffusion.