Rationale Zahlen/Periodische Ziffernentwicklung/Textabschnitt
Für einen Bruch zu liefert der Divisionsalgorithmus nach Fakt (3) eine periodische Entwicklung . die nach Fakt die Dezimalbruchfolge zur Zahl ist. Zu einer rationalen Zahl gehört also eine periodische Ziffernentwicklung. Die Umkehrung gilt ebenfalls.
Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
Die Periodizität der Ziffernentwicklung zu wurde in
Fakt (3)
in Verbindung mit
Fakt
bewiesen.
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
Nach Fakt konvergiert dies gegen
wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise