Rechtsäquivalenz/Algebraische Variante/Glattheit/Bemerkung

Das Konzept der Rechtsäquivalenz kann man auch rein algebraisch definieren, für Polynome oder rationale Funktionen ${}f_{1},f_{2}$ auf Zariski-offenen Mengen ${}U_{1},U_{2}$ im affinen Raum (oder für rationale Funktionen auf glatten gleichdimensionalen Varietäten) mit der Hilfe von (auf eventuell kleineren offenen Teilmengen definierten) Isomorphismen zwischen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$. Dabei sind aber, anders als in Fakt, noch nicht einmal glatte Punkte auf den Nullstellengebilden zueinander algebraisch rechtsäquivalent. Bei einer Isomorphie der umgebenden Räume, die die beiden algebraischen Situationen ineinander überführt, werden wie in Fakt insbesondere auch die Nullstellengebilde ineinander überführt und diese sind daher isomorph. Einen solchen Isomorphismus kann es aber beispielsweise zwischen einer Geraden in der Ebene und der Kurve ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-1\right)}$ nicht geben, da der Quotientenkörper der letzteren Kurve kein rationaler Funktionenkörper in einer Variablen ist.