- Nach
Fakt
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\exp \left((x+x')\ln b\right)\\&=\exp(x\ln b+x'\ln b)\\&=\exp \left(x\ln b\right)\cdot \exp \left(x'\ln b\right)\\&=b^{x}\cdot b^{x'}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17d43d7b6bdd21b68f98e310e073dd869b300d5)
- Nach (1) ist
-
![{\displaystyle {}b^{x}\cdot b^{-x}=b^{x-x}=b^{0}=\exp \left(0\right)=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a26446a6eab7f6bf8b2e550f4a8076197bdc69)
deshalb sind
und
invers zueinander.
- Mit
und
ist
-
![{\displaystyle {}x\ln b>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e47d4994662b8484094ebc16b48faa9e1b46c4)
und damit ist nach
Fakt (5)
.
- Wird ähnlich wie (3) begründet.
- Sei
,
dann ist
.
Aus
folgt dann
und somit ergibt sich
-
![{\displaystyle {}b^{x'}=\exp \left(x'\ln b\right)>\exp \left(x\ln b\right)=b^{x}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a5240ceb7089fed6dca6b6c3eeb60e6427219c)
aus
Fakt (6).
- Wird ähnlich wie (5) bewiesen.
- Wegen
-
![{\displaystyle {}b^{x}=\exp \left(x\ln b\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5595397403c85217609009e0ef1a9c9d6ccbe2dc)
ist
und daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(b^{x})^{x'}&=\exp \left(x'\cdot \ln \left(b^{x}\right)\right)\\&=\exp \left(x'\cdot x\cdot \ln \left(b\right)\right)\\&=b^{x\cdot x'}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f14d497c0f05009f8ea62f542341f06868045a)
- Nach
Fakt
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(ab)^{x}&=\exp \left(x\ln \left(ab\right)\right)\\&=\exp \left(x(\ln a+\ln b)\right)\\&=\exp \left(x\ln a+x\ln b\right)\\&=\exp \left(x\ln a\right)\cdot \exp \left(x\ln b\right)\\&=a^{x}\cdot b^{x}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c472f21a6475e86ae152aa358b91dca4dd94fc)