Reelle Funktion/Grenzwert/Über Folgen/Einführung/Textabschnitt

Funktionen sind häufig in bestimmten Punkten nicht definiert, beispielsweise, weil die verwendeten Funktionsterme nicht definiert sind. Es macht aber einen Unterschied, ob nur die gewählte Funktionsvorschrift in diesem Punkt nicht definiert ist, es aber eine sinnvolle (stetige) Fortsetzung gibt, oder ob die Funktion selbst prinzipiell nicht sinnvoll fortsetzbar ist (weil sie beispielsweise einen Pol oder ein chaotischeres Verhalten besitzt). Die folgende Begriffsbildung wird vor allem für die Definition der Differenzierbarkeit wichtig werden (besitzen die Differenzenquotienten einen sinnvollen Limes, der dann der Differentialquotient heißt).

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in ${}T$ gibt, die gegen ${}a$ konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei ${}T=I\setminus \{a\}$. Die Funktion sei auf ${}T$, aber nicht im Punkt ${}a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man ${}f$ zu einer sinnvollen Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${}{\tilde {f}}(a)$ durch ${}f$ bestimmt sein.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es seien ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}.$

Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x\in T$ mit ${}d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$ gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Für eine stetige Funktion ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion ${}{\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\rightarrow \mathbb {R}$ (durch ${}{\tilde {f}}(a)=b$) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von ${}f$ in ${}a$ gleich ${}b$ ist.