Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/Textabschnitt

Axiom

Die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.

1. Für je zwei reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ ist entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {R}$).
3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {R}$).
4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in \mathbb {R}$).
5. Für jede reelle Zahl ${}a\in \mathbb {R}$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}n\geq a$.

Die ersten beiden Eigenschaften drücken aus, dass auf ${}\mathbb {R}$ eine totale (oder lineare) Ordnung vorliegt; die in (2) beschriebene Eigenschaft heißt Transitivität. Die fünfte Eigenschaft heißt Archimedes-Axiom.

Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)

Statt ${}a\geq b$ schreibt man auch ${}b\leq a$. Die Schreibweise ${}a>b$ bedeutet ${}a\geq b$ und ${}a\neq b$. Eine wichtige Beziehung in ${}\mathbb {R}$ ist, dass ${}a\geq b$ äquivalent zu ${}a-b\geq 0$ ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von ${}-b$ bzw. ${}b$ aus dem dritten Axiom. Eine reelle Zahl ${}a\in \mathbb {R}$ nennt man positiv, wenn ${}a>0$ ist, und negativ, wenn ${}a<0$ ist. Die ${}0$ ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente ${}a$ mit ${}a\geq 0$ nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente ${}a$ mit ${}a\leq 0$ nichtpositiv. Für die entsprechenden Teilmengen der reellen Zahlen schreibt man

$\mathbb {R} _{+},\,\mathbb {R} _{-},\,\mathbb {R} _{\geq 0}=\mathbb {R} _{+}^{0},\,\mathbb {R} _{\leq 0}=\mathbb {R} _{-}^{0}$

oder Ähnliches.

Lemma

Für reelle Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}1\geq 0$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
3. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
4. Es ist ${}a^{2}\geq 0$.
5. Aus ${}a\geq b\geq 0$ folgt ${}a^{n}\geq b^{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.
6. Aus ${}a\geq 1$ folgt ${}a^{n}\geq a^{m}$ für ganze Zahlen ${}n\geq m$.
7. Aus ${}a>0$ folgt ${}{\frac {1}{a}}>0$.
8. Aus ${}a>b>0$ folgt ${}{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Das folgende Lemma fasst Folgerungen aus dem Archimedes-Axiom zusammen.

Lemma

1. Zu ${}x,y\in \mathbb {R}$ mit ${}x>0$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx\geq y$.
2. Zu ${}x>0$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\frac {1}{n}}<x$.
3. Zu zwei reellen Zahlen ${}x<y$ gibt es auch eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

   ${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

Beweis

(1). Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (2) auch ${}nx\geq y$.
(2). Es ist ${}x^{-1}$ eine wohldefinierte, nach Fakt  (7) positive reelle Zahl. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n>x^{-1}$. Dies ist nach Fakt  (8) äquivalent zuzusatz2

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}<(x^{-1})^{-1}=x\,.$

(3). Wegen ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher gibt es nach (2) ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}{\frac {1}{k}}=y-x$. Wegen (1) gibt es auch ein ${}n'\in \mathbb {N}$ mit ${}n'{\frac {1}{k}}>x$. Wegen der Archimedes-Eigenschaft gibt es ein ${}{\tilde {n}}\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {n}}\geq -xk$. Nach Fakt  (3) gilt daher ${}(-{\tilde {n}}){\frac {1}{k}}\leq x$. Daher gibt es auch ein ${}n\in \mathbb {Z}$ derart, dass

$n{\frac {1}{k}}>x{\text{ und }}(n-1){\frac {1}{k}}\leq x$

ist. Damit ist einerseits ${}x<{\frac {n}{k}}$ und andererseits

${}{\frac {n}{k}}={\frac {n-1}{k}}+{\frac {1}{k}}<x+y-x=y\,,$

wie gewünscht.

$\Box$

Definition

Für reelle Zahlen ${}a,b$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Für das offene Intervall wird häufig auch ${}(a,b)$ geschrieben. Die Zahlen ${}a$ und ${}b$ heißen die Grenzen des Intervalls (oder Randpunkte des Intervalls), genauer spricht man von unterer und oberer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie ${}(a,\infty )$ verwendet. Dies bedeutet nicht, dass es in ${}\mathbb {R}$ ein Element ${}\infty$ gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für ${}{\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\right\}}$.