Reelle Zahlen/Beliebige Wurzel/Als Supremum/Beispiel

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N}$. Es sei

${}M={\left\{x\in \mathbb {R} _{\geq 0}\mid x^{k}\leq a\right\}}\,.$

Diese Menge ist wegen ${}0\in M$ nicht leer und nach oben beschränkt (bei $a\leq 1$ ist ${}1$ eine obere Schranke, sonst ist ${}a$ eine obere Schranke). Es sei ${}s={\operatorname {sup} \,(M)}$, das es nach Fakt geben muss. Dann ist ${}s^{k}=a$, d.h. ${}s$ ist eine ${}k$-te Wurzel von ${}a$, da sowohl die Annahme ${}s^{k}<a$ als auch die Annahme ${}s^{k}>a$, zu einem Widerspruch führt, siehe Aufgabe.