Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Dezimalentwicklung/Textabschnitt

Korollar

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

Beweis

Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Fakt liegt eine Cauchy-Folge vor, und diese konvergiert in ${}\mathbb {R}$.

$\Box$

Diese Aussage ist auch die Grundlage dafür, dass die Dezimalentwicklung stets eine (eindeutige) reelle Zahl definiert. Eine (unendliche) Dezimalentwicklung

$a,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots$

mit ${}a\in \mathbb {N}$ (wir beschränken uns auf nichtnegative Zahlen) und ${}a_{-n}\in \{0,\ldots ,9\}$ ist nämlich die Folge der rationalen Zahlen

$x_{0}:=a,\,x_{1}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}},\,x_{2}:=a+a_{-1}\cdot {\frac {1}{10}}+a_{-2}\cdot {\left({\frac {1}{10}}\right)}^{2},\,{\rm {{etc}.}}$

Diese ist offenbar monoton wachsend. Sie ist ferner nach oben beschränkt, beispielsweise durch $a+1$, sodass dadurch in der Tat eine Cauchy-Folge und somit eine reelle Zahl definiert wird.