Reelle Zahlen/Intervalle und zusammenhängende Teilmengen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also , aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe und mit

Dann ist die Menge

sowohl offen als auch abgeschlossen in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen und ist sie weder noch , also ist nicht zusammenhängend.
Es sei nun ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge mit gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei und  , . Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall (ohne Einschränkung sei ) und setzen . Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen nicht leer ist und wegen nicht ganz ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge mit und gibt. Wir betrachten die reelle Zahl , die wegen Fakt existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von Fakt ist . Da aber auch offen in ist, gibt es ein mit . Da das Supremum von ist, folgt . Dies ist ein Widerspruch zu .