Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt/Beweis2

Beweis

Das reelle normierte Polynom zerfällt über den komplexen Zahlen nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist

mit . Da reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt

Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ein mit . D.h. entweder, dass ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber und dann ist

ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Sei nun eine endliche Körpererweiterung. Sei und , . Dann ist algebraisch über und nach Fakt ist mit einem irreduziblen Polynom (dem Minimalpolynom zu ). Das Polynom besitzt in Nullstellen, so dass es einen -Algebrahomomorphismus gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung . Da algebraisch abgeschlossen ist, muss nach Aufgabe sein.