Das reelle normierte Polynom zerfällt über den komplexen Zahlen nach
dem Fundamentalsatz der Algebra
in Linearfaktoren, d.h. es ist
-
mit . Da reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
-
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem ein mit . D.h. entweder, dass ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber und dann ist
-
ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.
Sei nun eine endliche Körpererweiterung. Es sei und
, .
Dann ist algebraisch über und
nach Fakt
ist
mit einem irreduziblen Polynom
(dem
Minimalpolynom
zu ).
Das Polynom besitzt in Nullstellen, sodass es einen
-Algebrahomomorphismus
gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung . Da
algebraisch abgeschlossen
ist, muss
nach Aufgabe
sein.