Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt
mit
-
![{\displaystyle {}A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178100400f074f2ac8152687cf5708ddd93d6e9f)
und
-
![{\displaystyle {}B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cd1b9ee160ba025af718f1fe82dad3bd17f286)
Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass
eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf
Fakt (8)
und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe
Aufgabe.
Nach
Fakt
gibt es somit ein
mit
-
![{\displaystyle {}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a548f89921d04d8d075a10b76f2b2c1fb9167a5a)
Wir behaupten
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![{\displaystyle {}x^{k}=c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f71db144f47cb1110048e0cfe11f6fc98de663)
Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen
bzw.
jeweils zu einem Widerspruch führen.